Пучок модулей

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Локально свободный пучок»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике, пучок модулей — это пучок над окольцованным пространством , обладающий структурой модуля над структурным пучком .

Определение

[править | править код]

Для окольцованного пространства , пучок -модулей (или просто -модуль) — это пучок над , такой что является -модулем для каждого открытого множества , и для каждого открытого множества , содержащегося в , отображение ограничения согласовано со структурой модулей: для каждых имеем

.

Морфизмом -модулей называется морфизм пучков, такой, что для любого открытого множества отображение является морфизмом -модулей.

  • Структурный пучок является -модулем. Пучок -модулей, являющийся подпучком пучка , называется пучком идеалов на .
  • Если  — морфизм -модулей, то ядро, образ и коядро являются -модулями.
  • Любые прямые суммы, прямые произведения, прямые и обратные пределы -модулей являются -модулями. Пучок -модулей называется свободным, если он изоморфен прямой сумме нескольких копий . Пучок -модулей называется локально свободным (ранга ) если у каждой точки существует открытая окрестность, на которой свободен (изоморфен прямой сумме копий пучка ). Локально свободный пучок ранга 1 называется также обратимым пучком.
  • Если  — пучки -модулей, можно определить пучок морфизмов из в следующим образом:
    Двойственный -модуль к --модулю  — это модуль морфизмов из в .
  • Пучок, ассоциированный с предпучком обозначается . Его слой в точке канонически изоморфен . Аналогично определяется симметрическое и внешнее произведение.

Литература

[править | править код]
  • Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия / пер. с англ. В. А. Исковских. — М.: Мир, 1981.
  • Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. «Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas». Publications Mathématiques de l’IHÉS. 4, 1960.