Характер кубического вычета

Характер кубического вычета — теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета. Также является характером в простом поле.

Характер кубического вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется кубический закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Определение

Пусть

$\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}$ -

кубический корень из единицы.

Рассмотрим D=Z[w] — кольцо чисел Эйзенштейна, то есть чисел вида

$\alpha =a+b\,\omega$,

где a и b — целые числа.

Пусть $\pi$ — простое в кольце D с нормой $N(\pi )$, такое что $N(\pi )\neq 3$. В этом случае $N(\pi )-1$ делится на 3. Определим характер кубического вычета следующим образом:

• $\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=0$, если $\alpha$ делится на $\pi$.
• $\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\alpha ^{(N(\pi )-1)/3}\mod \pi$ иначе.

Заметим, что при $\pi$, не делящем $\alpha$ , значение характера кубического вычета принимает одно из трёх значений: $\{1,\ \omega ,\ \omega ^{2}\}$.

Кубический закон взаимности

Назовём $\pi$ примарным, если оно является простым в D и сравнимо с 2 по модулю 3. Пусть $\pi$ и $\theta$ — примарные, тогда

$\left({\frac {\pi }{\theta }}\right)_{3}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\right)_{3}$

Другие свойства характера кубического вычета

• $\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=1$ тогда и только тогда, когда сравнение $x^{3}\equiv \alpha \mod {\pi }$ разрешимо в Z[ω], то есть тогда и только тогда, когда $\alpha$ — кубический вычет
• Мультипликативность: $\left({\frac {\alpha \beta }{\pi }}\right)_{3}=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}\cdot \left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{3}$
• Периодичность: если $\alpha \equiv \beta \mod {\pi }$, то $\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{3}$
• Если $\pi =-1+3(m+n\omega )$ — примарное, то

• $\left({\frac {\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{m+n}$
• $\left({\frac {1-\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{2m}$

Список литературы

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва: Мир, 1987.

• Franz Lemmermeyer. Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein. — Springer Verlag, 2000. — ISBN 3-540-66957-4.