Символ Гильберта

Символ Гильберта, или символ норменного вычета, — функция двух аргументов из $K^{\times }\times K^{\times }$ в группу корней $n$ -й степени из единицы в локальном поле $K$ (например в поле действительных чисел или в поле p-адических чисел. Он связан с законами взаимности, и может быть определён через символ Артина локальной теории полей классов. Символ Гильберта был введён в его Zahlbericht, с небольшим отличием, что он определял его скорее для элементов глобальных полей, чем для более крупных локальных полей.

Символ Гильберта обобщается на высшие локальные поля.

Квадратичный символ Гильберта

Пусть $K$ — локальное поле, а $K^{\times }$ — его мультипликативная группа ненулевых элементов. Квадратичный символ Гильберта над $K$ — это функция $(a,b)$ из $K^{\times }\times K^{\times }$ в $\{-1;1\}$ , определённая как

(a,b)={\begin{cases}1,&{\mbox{ если }}z^{2}=ax^{2}+by^{2}{\mbox{ имеет ненулевое решение }}(x,y,z)\in K^{3};\\-1,&{\mbox{ в противном случае.}}\end{cases}}

Свойства

Следующие три свойства прямо следуют из определения с помощью выбора подходящего решения для диофантова уравнения, указанного в определении, и выполняются для любого локального поля $K$ :

$(a^{2},b)=1$ для любых $a,b$ .
$(a,b)=(b,a)$ для любых $a,b$ .
Для любого $a\in K^{\times }$ , такого что $a-1\in K^{\times }$ , верно, что $(a,1-a)=1$

Бимультипликативность, то есть

(a,b_{1}b_{2})=(a,b_{1})\cdot (a,b_{2})

для любых $a,b_{1},b_{2}\in K^{\times }$ . Это свойство является более трудным для доказательства и требует разработки локальной теории полей классов.

Третье свойство показывает, что символ Гильберта является примером символа Штейнберга и, таким образом, factors над второй K-группе Милнора $K_{2}^{M}(K)$ , которая определяется как

K^{\times }\otimes K^{\times }/(a\otimes (1-a),a\in K\setminus \{0;1\})

По первому свойству он even factors над $K_{2}^{M}(K)/2$ . Это первый шаг в направлении к гипотезе Милнора.

Интерпретация как алгебры

Символ Гильберта может быть также использован для обозначения центральной простой алгебры над $K$ с базисом $1,i,j,k$ и правилами умножения $i^{2}=a$ , $j^{2}=b$ , $ij=-ji=k$ .

Символы Гильберта над рациональными числами

Для точки (англ. place) $v$ из поля рациональных чисел и рациональных чисел $a,b$ обозначим $(a,b)_{v}$ символ Гильберта в соответствующем пополнении $\mathbb {Q} _{v}$ . Как обычно, если $v$ это показатель, связанный с простым числом $p$ , то соответствующее пополнение является полем $p$ -адических чисел, а если $v$ является бесконечной точкой, то пополнение является полем действительных чисел.

В поле действительных чисел, $(a,b)_{\infty }=+1$ тогда и только тогда, когда $a>0$ или $b>0$ , и $(a,b)_{\infty }=-1$ , если оба $a,b<0$ .

Над $p$ -адическими числами с нечётным $p$ положим $a=p^{\alpha }u$ и $b=p^{\beta }v$ , где $u,v$ — целые числа, взаимно простые с $p$ , тогда мы получим

(a,b)_{p}=(-1)^{\alpha \beta \epsilon (p)}\left({\frac {u}{p}}\right)^{\beta }\left({\frac {v}{p}}\right)^{\alpha }

, где

\epsilon (p)=(p-1)/2

а $\left({\frac {u}{p}}\right),\left({\frac {v}{p}}\right)$ — символы Лежандра.

Над $2$ -адическими числами положим $a=2^{\alpha }u$ и $b=2^{\beta }v$ , где $u,v$ — нечётные числа, тогда мы получим

(a,b)_{2}=(-1)^{\epsilon (u)\epsilon (v)+\alpha \omega (v)+\beta \omega (u)}

, where

\omega (x)=(x^{2}-1)/8.

Известно, что если $v$ пробегает все точки (англ. place), $(a,b)_{v}=1$ для почти всех точек. Следовательно, следующая формула с бесконечным произведением

\prod _{v}(a,b)_{v}=1

имеет смысл. Эта формула эквивалентна квадратичному закону взаимности.

Радикал Капланского

Символ Гильберта на поле $F$ определяется как отображение

(\cdot ,\cdot ):F^{\times }/(F^{\times })^{2}\times F^{\times }/(F^{\times })^{2}\rightarrow \mathop {Br} (F)

где $\mathop {Br} (F)$ — группа Брауэра поля $F$ . Ядро этого отображения — множество всех элементов $a$ таких, что $(a,b)=1$ для всех $b$ — это радикал Капланского поля $F$ .^[1]

Радикал является подгруппой $F^{\times }/(F^{\times })^{2}$ , отождествляемой с подгруппой of $F^{\times }$ . Радикал содержит группу, равную $F^{\times }$ если и только если $F$ не является формально вещественным и имеет u-инвариант не более 2.^[2] С другой стороны, поле с радикалом $(F^{\times })^{2}$ называется полем Гильберта.^[3]

Символ Гильберта в общем случае

Если $K$ локальное поле, содержащее группу корней $n$ -й степени из единицы $U_{n}$ для некоторого $n$ , взаимно простого с характеристикой $K$ , то символ Гильберта — это функция из $K^{\times }\times K^{\times }$ в $U_{n}$ . Его можно выразить через символ Артина как^[4]

(a,b){\sqrt[{n}]{b}}=(a,K({\sqrt[{n}]{b}})/K){\sqrt[{n}]{b}}