Систе́ма аксио́м Це́рмело — Фре́нкеля (ZF ) — наиболее широко используемый вариант аксиоматической теории множеств , являющийся фактическим стандартом для оснований математики . Сформулирована Эрнстом Цермело в 1908 году как средство преодоления парадоксов теории множеств , и уточнена Абрахамом Френкелем в 1921 году .
К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора , и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC , англ. Zermelo—Fraenkel set theory with the axiom of Choice ).
Эта система аксиом записана на языке логики первого порядка . Существуют и другие системы; например, система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя (NBG) наряду с множествами рассматривает так называемые классы объектов , при этом она равносильна ZF в том смысле, что любая теорема о множествах (то есть не упоминающая о классах), доказуемая в одной системе, также доказуема и в другой.
Теория множеств Цермело — Френкеля (ZF) — теория первого порядка с равенством с одним двуместным предикатным символом
∈
{\displaystyle \in }
и следующими аксиомами:
∀
A
∀
B
(
∀
b
(
b
∈
A
↔
b
∈
B
)
→
A
=
B
)
{\displaystyle \forall A\forall B\ (\forall b\ (b\in A\leftrightarrow b\in B)\rightarrow A=B)}
— аксиома объёмности (экстенсиональности) ;
∀
A
∃
D
∀
c
(
c
∈
D
↔
∃
a
(
a
∈
A
∧
c
∈
a
)
)
{\displaystyle \forall A\ \exists D\ \forall c\ {\bigl (}c\in D\leftrightarrow \exists a\ (a\in A\ \land \ c\in a){\bigr )}}
— аксиома объединения ;
∀
A
∃
B
∀
b
(
b
∈
B
↔
∀
d
(
d
∈
b
→
d
∈
A
)
)
{\displaystyle \forall A\ \exists B\ \forall b\ (b\in B\leftrightarrow \forall d\ {\bigl (}d\in b\rightarrow d\in A{\bigr )})}
— аксиома булеана ;
∃
A
∃
E
(
∀
c
¬
(
c
∈
E
)
∧
E
∈
A
∧
∀
b
(
b
∈
A
→
∀
c
(
∀
d
(
d
∈
c
↔
d
=
b
∨
∀
a
(
a
∈
d
↔
a
=
b
)
)
→
c
∈
A
)
)
)
{\displaystyle \exists A\ \exists E\ {\bigl (}\forall c\ \lnot {\bigl (}c\in E{\bigr )}\land E\in A\ \land \ \forall b\ (b\in A\rightarrow \forall c{\bigl (}\forall d{\bigl (}d\in c\leftrightarrow d=b\lor \forall a{\bigl (}a\in d\leftrightarrow a=b{\bigr )}{\bigr )}\rightarrow c\in A){\bigr )}{\bigr )}}
— аксиома бесконечности ;
∀
A
(
∃
a
(
a
∈
A
)
→
∃
b
(
b
∈
A
∧
∀
c
(
c
∈
b
→
¬
(
c
∈
A
)
)
)
)
{\displaystyle \forall A\ {\Bigl (}\exists a{\bigl (}a\in A{\bigr )}\rightarrow \exists b\ {\bigl (}b\in A\ \land \ \forall c\ (c\in b\rightarrow \lnot {\bigl (}c\in A){\bigr )}{\bigr )}{\Bigr )}}
— аксиома регулярности ;
∀
x
∀
y
∀
z
(
φ
[
x
,
y
]
∧
φ
[
x
,
z
]
→
y
=
z
)
→
∀
A
∃
D
∀
c
(
c
∈
D
↔
∃
b
(
b
∈
A
∧
φ
[
b
,
c
]
)
)
{\displaystyle \forall x\ \forall y\ \forall z\ {\bigl (}\varphi [x,y]\land \varphi [x,z]\rightarrow y=z{\bigr )}\rightarrow \forall A\ \exists D\ \forall c\ {\bigl (}c\in D\leftrightarrow \exists b\ (b\in A\ \land \ \varphi [b,c]){\bigr )}}
— схема преобразования .
Иногда также к этим аксиомам добавляют следующие:
∃
E
∀
c
¬
(
c
∈
E
)
{\displaystyle \exists E\ \forall c\ \lnot {\bigl (}c\in E{\bigr )}}
— аксиома пустого множества ;
∀
a
1
∀
a
2
∃
C
∀
b
(
b
∈
C
↔
(
b
=
a
1
∨
b
=
a
2
)
)
{\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ \exists C\ \forall b\ {\bigl (}b\in C\leftrightarrow (b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}){\bigr )}}
— аксиома пары ;
∀
A
∃
C
∀
b
(
b
∈
C
↔
b
∈
A
∧
φ
[
b
]
)
{\displaystyle \forall A\ \exists C\ \forall b\ {\bigl (}b\in C\leftrightarrow b\in A\land \varphi [b]{\bigr )}}
— схема выделения .
Однако эти аксиомы избыточны и могут быть выведены из основных.
Теория множеств Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) получается из ZF добавлением к списку аксиом ещё одной дополнительной аксиомы, называемой аксиомой выбора :
∀
A
(
(
∃
a
(
a
∈
A
)
∧
∀
b
(
b
∈
A
→
∃
a
(
a
∈
b
)
)
∧
∀
b
1
∀
b
2
∀
c
(
b
1
∈
A
∧
b
2
∈
A
∧
c
∈
b
1
∧
c
∈
b
2
→
b
1
=
b
2
)
)
→
(
∃
D
∀
b
(
b
∈
A
→
∃
d
(
d
∈
b
∧
d
∈
D
)
∧
∀
d
1
∀
d
2
(
d
1
∈
b
∧
d
2
∈
b
∧
d
1
∈
D
∧
d
2
∈
D
→
d
1
=
d
2
)
)
)
)
{\displaystyle \forall A\ {\bigl (}{\bigl (}\exists a{\bigl (}a\in A{\bigr )}\ \land \ \forall b\ (b\in A\rightarrow \exists a{\bigl (}a\in b{\bigr )}{\bigr )}\ \land \ \forall b_{1}\ \forall b_{2}\ \forall c\ (b_{1}\in A\land b_{2}\in A\land c\in b_{1}\land c\in b_{2}\rightarrow b_{1}=b_{2}{\bigr )}{\bigr )}\rightarrow {\bigl (}\exists D\ \forall b{\bigl (}b\in A\rightarrow \exists d{\bigl (}d\in b\land d\in D{\bigr )}\land \forall d_{1}\ \forall d_{2}\ {\bigl (}d_{1}\in b\land d_{2}\in b\land d_{1}\in D\land d_{2}\in D\rightarrow d_{1}=d_{2}{\bigr )}{\bigr )}{\bigr )}{\bigr )}}
— аксиома выбора
Аксиомы ZFC включают в себя:
0) группу высказываний о равенстве множеств (аксиома 1),
1) группу высказываний о существовании множеств (аксиомы 0, 6),
2) группу высказываний об образовании множеств из уже имеющихся множеств (аксиомы 2, 3, 4 и схемы 5, 7), в которой можно выделить три подгруппы,
3) группу высказываний об упорядоченности образованных множеств (аксиомы 8, 9).
0. Критерий равенства множеств в ZFC [ править | править код ]
Следующее высказывание выражает достаточное условие идентичности двух множеств.
∀
A
1
∀
A
2
(
∀
b
(
b
∈
A
1
↔
b
∈
A
2
)
→
A
1
=
A
2
)
{\displaystyle \forall A_{1}\forall A_{2}\ (\forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2})\to A_{1}=A_{2})}
Примечание
«Аксиому объёмности» можно сформулировать следующим образом: «Если каждый элемент первого множества принадлежит второму множеству, а каждый элемент второго множества принадлежит первому множеству, тогда оба множества идентичны.»
Необходимое условие идентичности двух множеств имеет вид
∀
A
1
∀
A
2
(
A
1
=
A
2
→
∀
b
(
b
∈
A
1
↔
b
∈
A
2
)
)
{\displaystyle \forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\to \forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2}))}
и выводится из аксиом предиката
=
{\displaystyle =}
, а именно:
∀
a
(
a
=
a
)
{\displaystyle \forall a\ (a=a)}
,
∀
A
1
∀
A
2
(
A
1
=
A
2
→
(
φ
[
A
1
]
→
φ
[
A
2
]
)
)
{\displaystyle \forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\to (\varphi [A_{1}]\to \varphi [A_{2}]))}
, где
φ
[
a
1
]
{\displaystyle \varphi [a_{1}]}
— любое математически корректное суждение об
a
1
{\displaystyle a_{1}}
, а
φ
[
a
2
]
{\displaystyle \varphi [a_{2}]}
— то же самое суждение, но об
a
2
{\displaystyle a_{2}}
.
Соединение указанного необходимого условия [идентичности множеств] с аксиомой объёмности даёт следующий критерий равенства множеств :
∀
A
1
∀
A
2
(
A
1
=
A
2
↔
∀
b
(
b
∈
A
1
↔
b
∈
A
2
)
)
{\displaystyle \forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2})\ )}
1. Аксиомы ZFC о существовании множеств [ править | править код ]
«Аксиома объёмности» была бы бесполезным высказыванием, если бы не существовало ни одного множества или существовало только одно множество.
Следующие два высказывания гарантируют существование по меньшей мере двух разных множеств, а именно: а) множества, в котором нет ничего, и б) множества, содержащего бесконечное количество элементов.
∃
A
∀
b
(
b
∉
A
)
{\displaystyle \exists A\forall b\ (b\notin A)}
Примечание
«Аксиому [существования] пустого множества» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] множество без единого элемента.»
Доказывается, что «аксиома пустого множества» равносильна высказыванию
∃
!
A
∀
b
(
b
∉
A
)
{\displaystyle \exists !A\forall b\ (b\notin A)}
. Поэтому единственному множеству
a
{\displaystyle a}
можно присвоить имя. Употребительны два имени:
∅
{\displaystyle \varnothing }
и
{
}
{\displaystyle \{\}}
. Используя указанные имена, «аксиому пустого множества» записывают так:
∀
b
(
b
∉
∅
)
{\displaystyle \forall b\ (b\notin \varnothing )}
и
∀
b
(
b
∉
{
}
)
{\displaystyle \forall b\ (b\notin \{\})}
∃
A
(
∅
∈
A
∧
∀
b
(
b
∈
A
→
b
∪
{
b
}
∈
A
)
)
{\displaystyle \exists A\ (\varnothing \in A\ \land \ \forall b\ (b\in A\to b\cup \{b\}\in A)\ )}
, где
b
∪
{
b
}
=
{
c
:
c
∈
b
∨
c
=
b
}
{\displaystyle b\cup \{b\}=\{c\colon c\in b\ \lor \ c=b\}}
Примечание
«Аксиому бесконечности» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] „бесконечное множество “, которое состоит из
∅
,
∅
∪
{
∅
}
,
∅
∪
{
∅
}
∪
{
∅
∪
{
∅
}
}
,
…
{\displaystyle \varnothing ,\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \},\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \}\cup \{\varnothing \cup \{\varnothing \}\},\ \ldots }
.»
Высказывание о существовании бесконечного множества отличается от (ложного в данной аксиоматике) высказывания о существовании «множества всех множеств » (
∃
A
∀
b
(
b
∈
A
)
{\displaystyle \exists A\forall b\ (b\in A)}
).
2. Аксиомы ZFC об образовании множеств [ править | править код ]
Следующие пять высказываний можно назвать аксиомами образования множеств [из имеющихся множеств, включая
∅
{\displaystyle \varnothing }
и по меньшей мере одну
∞
{\displaystyle \infty }
].
Каждое из этих пяти высказываний создано на основе высказывания
∀
A
∃
b
(
b
=
φ
[
A
]
)
{\displaystyle \forall A\exists b\ (b=\varphi [A])}
, которое выводится из аксиом предиката
=
{\displaystyle =}
.
Эти пять высказываний можно объединить в следующие подгруппы:
2.0) группу постулатов об образовании множеств путём перечисления их элементов,
2.1) группу деклараций об учреждении и об упразднении семейств множеств,
2.2) группу схем образования множеств с помощью математически корректных суждений.
2.0. Постулат об образовании множеств путём перечисления их элементов: Аксиома пары [ править | править код ]
Простейший способ образовать новое множество [из уже имеющихся множеств] состоит в том, чтобы «ткнуть пальцем» в каждое множество, которое должно стать элементом [образуемого множества]. В ZFC указанный способ образования множеств представлен одной аксиомой, в которой «тыканье пальцем» моделируется с помощью предиката
=
{\displaystyle =}
.
2.0 Аксиома пары
∀
a
1
∀
a
2
∃
c
∀
b
(
b
∈
c
↔
b
=
a
1
∨
b
=
a
2
)
{\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})}
, что есть
∀
a
1
∀
a
2
∃
c
(
c
=
{
b
:
b
=
a
1
∨
b
=
a
2
}
)
{\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\ (c=\{b\colon b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}\})}
Примечание
«Аксиому [неупорядоченной] пары» можно сформулировать следующим образом: «Из любых двух множеств можно образовать „неупорядоченную пару“, то есть такое множество
c
{\displaystyle c}
, каждый элемент
b
{\displaystyle b}
которого идентичен данному множеству
a
1
{\displaystyle a_{1}}
или данному множеству
a
2
{\displaystyle a_{2}}
».
Примеры
1.
a
1
=
0
∧
a
2
=
1
⇒
∃
c
∀
b
(
b
∈
c
↔
b
=
0
∨
b
=
1
)
{\displaystyle 1.\ a_{1}=0\ \land \ a_{2}=1\Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=0\ \lor \ b=1)}
2.
a
1
=
∅
∧
a
2
=
{
∅
}
⇒
∃
c
∀
b
(
b
∈
c
↔
b
=
∅
∨
b
=
{
∅
}
)
{\displaystyle 2.\ a_{1}=\varnothing \ \land \ a_{2}=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=\varnothing \ \lor \ b=\{\varnothing \}\ )}
Доказывается, что «аксиома пары» равносильна высказыванию
∀
a
1
∀
a
2
∃
!
c
∀
b
(
b
∈
c
↔
b
=
a
1
∨
b
=
a
2
)
{\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})}
. Поэтому единственному множеству
c
{\displaystyle c}
можно присвоить имя
{
a
1
,
a
2
}
{\displaystyle \{a_{1},a_{2}\}}
. Используя указанное имя, «аксиому пары» записывают так:
∀
a
1
∀
a
2
∀
b
(
b
∈
{
a
1
,
a
2
}
↔
b
=
a
1
∨
b
=
a
2
)
{\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\forall b\ (b\in \{a_{1},a_{2}\}\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})}
или
∀
a
1
∀
a
2
(
{
a
1
,
a
2
}
=
{
b
:
b
=
a
1
∨
b
=
a
2
}
)
{\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ (\{a_{1},a_{2}\}=\{b\colon b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}\})}
2.1. Декларации об учреждении и об упразднении семейств множеств [ править | править код ]
Следующие две аксиомы, именуемые «аксиомой множества подмножеств» и «аксиомой объединения», можно рассматривать как естественное дополнение к «аксиоме пары». Чтобы убедиться в этом, заметим следующее.
Известно, что каждое множество
z
{\displaystyle z}
имеет подмножества , включая [копию пустого множества]
∅
{\displaystyle \varnothing }
и [копию самого множества]
z
{\displaystyle z}
. Иначе говоря,
∀
z
∃
x
∃
y
(
x
⊆
z
∧
y
⊆
z
)
∧
∀
z
(
∅
⊆
z
∧
z
⊆
z
)
{\displaystyle \forall z\exists x\exists y\ (x\subseteq z\ \land \ y\subseteq z)\quad \land \quad \forall z\ (\varnothing \subseteq z\ \land \ z\subseteq z)}
.
Руководствуясь «аксиомой пары», из названных подмножеств можно образовать неупорядоченную пару
{
∅
,
z
}
{\displaystyle \{\varnothing ,z\}}
. Назовём эту пару семейством
F
a
m
2
(
z
)
{\displaystyle Fam_{2}(z)}
.
Если можно образовать семейство
F
a
m
2
(
z
)
{\displaystyle Fam_{2}(z)}
из двух подмножеств множества
z
{\displaystyle z}
, тогда можно объявить об образовании семейства
F
a
m
a
(
z
)
{\displaystyle Fam_{a}(z)}
из всех подмножеств множества
z
{\displaystyle z}
.
Чтобы объявить об образовании семейства
F
a
m
a
(
z
)
{\displaystyle Fam_{a}(z)}
достаточно потребовать, чтобы каждый элемент
b
{\displaystyle b}
названного семейства был подмножеством множества
z
{\displaystyle z}
, а каждое подмножество
b
{\displaystyle b}
названного множества было элементом семейства
F
a
m
a
(
z
)
{\displaystyle Fam_{a}(z)}
. Иначе говоря,
∀
b
(
b
∈
F
a
m
a
(
z
)
→
b
⊆
z
)
∧
∀
b
(
b
⊆
z
→
b
∈
F
a
m
a
(
z
)
)
{\displaystyle \forall b\ (b\in Fam_{a}(z)\to b\subseteq z)\ \land \ \forall b\ (b\subseteq z\to b\in Fam_{a}(z)\ )}
,
что равносильно предложению
∀
b
(
b
∈
F
a
m
a
(
z
)
↔
b
⊆
z
)
{\displaystyle \forall b\ (b\in Fam_{a}(z)\leftrightarrow b\subseteq z)}
,
которое подразумевает предложение
∃
d
∀
b
(
b
∈
d
↔
b
⊆
z
)
{\displaystyle \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq z)}
,
которое является частным случаем высказывания
∀
a
∃
d
∀
b
(
b
∈
d
↔
b
⊆
a
)
{\displaystyle \forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}
.
Если можно объявить об учреждении семейства
F
a
m
a
(
z
)
{\displaystyle Fam_{a}(z)}
, тогда можно объявить об упразднении названного семейства.
Мыслимы различные способы упразднения семейства
F
a
m
a
(
z
)
{\displaystyle Fam_{a}(z)}
, включая:
1) его полное упразднение (уничтожение), то есть
D
e
l
(
F
a
m
a
(
z
)
)
=
∅
{\displaystyle Del(Fam_{a}(z))=\varnothing }
, что равносильно
∀
c
(
c
∈
D
e
l
(
F
a
m
a
(
z
)
)
↔
c
∈
∅
)
{\displaystyle \forall c\ (c\in Del(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in \varnothing )}
,
2) его фиктивное упразднение (резервирование), то есть
F
i
c
(
F
a
m
a
(
z
)
)
=
F
a
m
a
(
z
)
{\displaystyle Fic(Fam_{a}(z))=Fam_{a}(z)}
, что равносильно
∀
c
(
c
∈
F
i
c
(
F
a
m
a
(
z
)
)
↔
c
∈
F
a
m
a
(
z
)
)
{\displaystyle \forall c\ (c\in Fic(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in Fam_{a}(z))}
,
3) его реверсивное упразднение (расформирование), то есть
R
e
v
(
F
a
m
a
(
z
)
)
=
z
{\displaystyle Rev(Fam_{a}(z))=z}
, что равносильно
∀
c
(
c
∈
R
e
v
(
F
a
m
a
(
z
)
)
↔
c
∈
z
)
{\displaystyle \forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in z)}
.
Поскольку
c
∈
z
⇔
{
c
}
∈
F
a
m
a
(
z
)
⇔
∃
b
(
b
=
{
c
}
∧
b
∈
F
a
m
a
(
z
)
)
⇔
∃
b
(
c
∈
b
∧
b
∈
F
a
m
a
(
z
)
)
{\displaystyle c\in z\Leftrightarrow \{c\}\in Fam_{a}(z)\Leftrightarrow \exists b\ (b=\{c\}\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\Leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))}
,
постольку предложение
∀
c
(
c
∈
R
e
v
(
F
a
m
a
(
z
)
)
↔
c
∈
z
)
{\displaystyle \forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in z)}
равносильно предложению
∀
c
(
c
∈
R
e
v
(
F
a
m
a
(
z
)
)
↔
∃
b
(
c
∈
b
∧
b
∈
F
a
m
a
(
z
)
)
)
{\displaystyle \forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\ )}
,
которое подразумевает предложение
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
∃
b
(
c
∈
b
∧
b
∈
F
a
m
a
(
z
)
)
)
{\displaystyle \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\ )}
,
которое является частным случаем высказывания
∀
a
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
∃
b
(
c
∈
b
∧
b
∈
a
)
)
{\displaystyle \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in a)\ )}
.
Из изложенного следует, что высказывания
∀
a
∃
d
∀
b
(
b
∈
d
↔
b
⊆
a
)
{\displaystyle \forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}
и
∀
a
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
∃
b
(
c
∈
b
∧
b
∈
a
)
)
{\displaystyle \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in a)\ )}
можно считать независимыми условно.
∀
a
∃
d
∀
b
(
b
∈
d
↔
b
⊆
a
)
{\displaystyle \forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}
, что есть
∀
a
∃
d
(
d
=
{
b
:
b
⊆
a
}
)
{\displaystyle \forall a\exists d\ (d=\{b\colon b\subseteq a\})}
, где
b
⊆
a
⇔
∀
c
(
c
∈
b
→
c
∈
a
)
{\displaystyle b\subseteq a\Leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)}
Примечание
«Аксиому множества подмножеств» можно сформулировать следующим образом: «Из любого множества
a
{\displaystyle a}
можно образовать „суперкучу“, то есть множество
d
{\displaystyle d}
, состоящее из (собственных либо несобственных) подмножеств
b
{\displaystyle b}
данного множества
a
{\displaystyle a}
.»
Примеры
1.
a
=
∅
⇒
∃
d
∀
b
(
b
∈
d
↔
b
∈
{
∅
}
)
{\displaystyle 1.\ a=\varnothing \Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing \})}
, так как
∀
a
(
∅
⊆
a
∧
a
⊆
a
)
{\displaystyle \forall a\ (\varnothing \subseteq a\land a\subseteq a)}
2.
a
=
{
∅
}
⇒
∃
d
∀
b
(
b
∈
d
↔
b
∈
{
∅
,
{
∅
}
}
)
⇔
∃
d
∀
b
(
b
∈
d
↔
b
=
∅
∨
b
=
{
∅
}
)
{\displaystyle 2.\ a=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{\varnothing \}\})\Leftrightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b=\varnothing \ \lor \ b=\{\varnothing \})}
3.
a
=
{
1
,
2
,
3
}
⇒
∃
d
∀
b
(
b
∈
d
↔
b
∈
{
∅
,
{
1
}
,
{
2
}
,
{
3
}
,
{
1
,
2
}
,
{
1
,
3
}
,
{
2
,
3
}
,
{
1
,
2
,
3
}
}
)
{\displaystyle 3.\ a=\{1,2,3\}\Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\})}
4.
a
=
{
a
1
,
a
2
}
⇒
∃
d
∀
b
(
b
∈
d
↔
b
∈
{
∅
,
{
a
1
}
,
{
a
2
}
,
{
a
1
,
a
2
}
}
)
{\displaystyle 4.\ a=\{a_{1},a_{2}\}\Rightarrow \exists d\forall b(b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\})}
Доказывается, что «аксиома множества подмножеств» равносильна высказыванию
∀
a
∃
!
d
∀
b
(
b
∈
d
↔
b
⊆
a
)
{\displaystyle \forall a\exists !d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}
. Поэтому единственному множеству
d
{\displaystyle d}
можно присвоить имя
P
(
a
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(a)}
, которое произносится: «множество всех подмножеств [множества]
a
{\displaystyle a}
». Используя указанное имя, «аксиому множества подмножеств» записывают так:
∀
a
∀
b
(
b
∈
P
(
a
)
↔
b
⊆
a
)
{\displaystyle \forall a\forall b\ (b\in {\mathcal {P}}(a)\leftrightarrow b\subseteq a)}
или
∀
a
(
P
(
a
)
=
{
b
:
b
⊆
a
}
)
{\displaystyle \forall a\ ({\mathcal {P}}(a)=\{b\colon b\subseteq a\})}
∀
a
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
∃
b
(
b
∈
a
∧
c
∈
b
)
)
{\displaystyle \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )}
, что есть
∀
a
∃
d
(
d
=
{
c
:
∃
b
(
b
∈
a
∧
c
∈
b
)
}
)
{\displaystyle \forall a\exists d\ (d=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\})}
Примечание
Аксиому объединения [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства множеств можно образовать „кучу-малу“, то есть такое множество
d
{\displaystyle d}
, каждый элемент
c
{\displaystyle c}
которого принадлежит по меньшей мере одному множеству
b
{\displaystyle b}
данного семейства
a
{\displaystyle a}
».
Примеры
1.
a
=
P
(
∅
)
=
{
∅
}
⇒
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
c
∈
∅
)
{\displaystyle 1.\ a={\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \varnothing )}
2.
a
=
P
(
P
(
∅
)
)
=
{
∅
,
{
∅
}
}
⇒
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
c
∈
P
(
∅
)
)
⇔
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
c
∈
{
∅
}
)
{\displaystyle 2.\ a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in {\mathcal {P}}(\varnothing )\ )\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{\varnothing \})}
3.
a
=
{
b
1
,
b
2
,
b
3
}
=
{
{
0
,
1
}
,
{
1
,
2
}
,
{
3
}
}
⇒
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
c
∈
{
0
,
1
}
∨
c
∈
{
1
,
2
}
∨
c
∈
{
3
}
)
⇔
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
c
∈
{
0
,
1
,
2
,
3
}
)
{\displaystyle {\begin{aligned}3.\ a=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}=\{\{0,1\},\{1,2\},\{3\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1\}\lor c\in \{1,2\}\lor c\in \{3\})\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1,2,3\})\end{aligned}}}
4.
a
=
{
b
,
{
b
}
}
⇒
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
c
∈
b
∪
{
b
}
)
⇔
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
c
∈
b
∨
c
=
b
)
{\displaystyle 4.\ a=\{b,\{b\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in b\cup \{b\})\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in b\ \lor \ c=b)}
5.
a
=
(
a
1
,
a
2
)
=
{
{
a
1
}
,
{
a
1
,
a
2
}
}
=
{
{
a
1
,
a
1
}
,
{
a
1
,
a
2
}
}
⇒
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
c
∈
{
a
1
,
a
2
}
)
{\displaystyle 5.\ a=(a_{1},a_{2})=\{\{a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\}\}=\{\{a_{1},a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{a_{1},a_{2}\})}
6.
a
=
⟨
a
1
,
a
2
⟩
=
{
a
1
,
{
a
1
,
a
2
}
}
⇒
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
c
∈
a
1
∪
{
a
1
,
a
2
}
)
{\displaystyle 6.\ a=\langle a_{1},a_{2}\rangle =\{a_{1},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a_{1}\cup \{a_{1},a_{2}\})}
7.
a
=
P
(
{
a
1
,
a
2
}
)
=
{
∅
,
{
a
1
}
,
{
a
2
}
,
{
a
1
,
a
2
}
}
⇒
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
c
∈
{
a
1
,
a
2
}
)
{\displaystyle 7.\ a={\mathcal {P}}(\{a_{1},a_{2}\})=\{\varnothing ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{a_{1},a_{2}\})}
Доказывается, что аксиома объединения равносильна высказыванию
∀
a
∃
!
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
∃
b
(
b
∈
a
∧
c
∈
b
)
)
{\displaystyle \forall a\exists !d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )}
. Поэтому единственному множеству
d
{\displaystyle d}
можно присвоить имя
∪
a
{\displaystyle \cup \,a}
, которое произносится: «объединение множеств семейства
a
{\displaystyle a}
». Используя указанное имя, аксиому объединения записывают так:
∀
a
∀
c
(
c
∈
∪
a
↔
∃
b
(
b
∈
a
∧
c
∈
b
)
)
{\displaystyle \forall a\forall c\ (c\in \cup a\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )}
или
∀
a
(
∪
a
=
{
c
:
∃
b
(
b
∈
a
∧
c
∈
b
)
}
)
{\displaystyle \forall a\ (\cup a=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\}\ )}
.
Объединение множеств семейства
a
{\displaystyle a}
(
∪
a
{\displaystyle \cup a}
) не следует путать с пересечением множеств семейства
a
{\displaystyle a}
(
∩
a
{\displaystyle \cap a}
), о котором известно:
∀
a
∀
c
(
c
∈
∩
a
↔
∀
b
(
b
∈
a
→
c
∈
b
)
{\displaystyle \forall a\forall c\ (c\in \cap a\leftrightarrow \forall b\ (b\in a\to c\in b)}
, то есть
∀
a
(
∩
a
=
{
c
:
∀
b
(
b
∈
a
→
c
∈
b
)
}
)
{\displaystyle \forall a\ (\cap a=\{c\colon \forall b\ (b\in a\to c\in b)\})}
2.2. Схемы образования множеств с помощью математически корректных суждений [ править | править код ]
Среди математических высказываний встречаются аксиомы связи, включая:
а) аксиому связи между алгебраической операцией
+
{\displaystyle +}
(сложить) и алгебраической операцией
⋅
{\displaystyle \cdot }
(умножить)
∀
x
∀
y
∀
z
(
x
∈
R
∧
y
∈
R
∧
z
∈
R
→
(
x
+
y
)
⋅
z
=
x
⋅
z
+
y
⋅
z
)
{\displaystyle \forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \land \ y\in \mathbb {R} \land z\in \mathbb {R} \to (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z)}
,
б) аксиому связи между отношением порядка
≤
{\displaystyle \leq }
(меньше или равно) и алгебраической операцией
+
{\displaystyle +}
(сложить)
∀
x
∀
y
∀
z
(
x
∈
R
∧
y
∈
R
∧
z
∈
R
→
(
x
≤
y
→
x
+
z
≤
y
+
z
)
)
{\displaystyle \forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \land y\in \mathbb {R} \land z\in \mathbb {R} \to (x\leq y\to x+z\leq y+z))}
Следующие два высказывания, именуемые «схемой выделения» и «схемой преобразования», являются аксиомами связи между множествами (например, множеством
{
0
,
1
}
{\displaystyle \{0,1\}}
) и математически корректными суждениями (например, суждением
x
≤
0
{\displaystyle x\leq 0}
).
«Схема выделения» и «схема преобразования» выражают следующую простую мысль: «Каждое математически корректное суждение об элементах любого множества приводит к образованию [того же самого или другого] множества.»
Математически корректные суждения, фигурирующие в «схеме выделения», позволяют «довести [до товарного вида]» множества, которые образованы, например, с помощью аксиомы множества подмножеств.
Математически корректные суждения, фигурирующие в «схеме преобразования», позволяют создавать «[математические] изделия» из [«неотёсанных»] множеств, образованных, например, с помощью аксиомы множества подмножеств.
∀
a
∃
c
∀
b
(
b
∈
c
↔
b
∈
a
∧
Φ
[
b
]
)
{\displaystyle \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )}
, что есть
∀
a
∃
c
(
c
=
{
b
:
b
∈
a
∧
Φ
[
b
]
}
)
{\displaystyle \forall a\exists c\ (c=\{b\colon b\in a\ \land \ \Phi [b]\}\ )}
, где
Φ
[
b
]
{\displaystyle \Phi [b]}
— любое математически корректное суждение о
b
{\displaystyle b}
, но не о множестве
a
{\displaystyle a}
и не о множестве
c
{\displaystyle c}
.
Примечание
Схему выделения [подмножеств] можно сформулировать следующим образом: «Из каждого множества можно выделить [по меньшей мере одно] подмножество
c
{\displaystyle c}
, высказав суждение
Φ
{\displaystyle \Phi }
о каждом элементе
b
{\displaystyle b}
данного множества
a
{\displaystyle a}
.»
Примеры
1.
(
Φ
[
x
]
↔
x
=
x
)
⇒
∀
a
∃
c
∀
b
(
b
∈
c
↔
b
∈
a
∧
b
=
b
)
{\displaystyle 1.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x=x)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b=b)}
2.
(
Φ
[
x
]
↔
x
≠
x
)
⇒
∀
a
∃
c
∀
b
(
b
∈
c
↔
b
∈
a
∧
b
≠
b
)
{\displaystyle 2.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\neq x)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\neq b)}
3.
(
Φ
[
x
]
↔
x
∈
y
)
⇒
∀
a
∃
c
∀
b
(
b
∈
c
↔
b
∈
a
∧
b
∈
y
)
{\displaystyle 3.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\in y)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\in y)}
4.
(
Φ
[
x
]
↔
x
∉
y
)
⇒
∀
a
∃
c
∀
b
(
b
∈
c
↔
b
∈
a
∧
b
∉
y
)
{\displaystyle 4.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\notin y)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\notin y)}
5.
(
Φ
[
x
]
↔
x
<
2
)
∧
a
=
N
⇒
∃
c
∀
b
(
b
∈
c
↔
b
∈
N
∧
b
<
2
)
⇔
∃
c
∀
b
(
b
∈
c
↔
b
∈
{
0
,
1
}
)
{\displaystyle 5.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x<2)\ \land \ a=\mathbb {N} \Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \mathbb {N} \ \land \ b<2)\Leftrightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \{0,1\})}
6.
(
Φ
[
x
]
↔
∃
k
(
k
∈
N
∧
x
=
2
k
)
)
∧
a
=
N
⇒
∃
c
∀
b
(
b
∈
c
↔
b
∈
N
∧
∃
k
(
k
∈
N
∧
b
=
2
k
)
)
⇔
∃
c
∀
b
(
b
∈
c
↔
b
∈
{
0
,
2
,
4
,
6
,
…
}
)
{\displaystyle {\begin{aligned}6.\ (\Phi [x]\leftrightarrow \exists k\ (k\in \mathbb {N} \land x=2k))\land a=\mathbb {N} \Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \mathbb {N} \land \exists k\ (k\in \mathbb {N} \land b=2k))\\\ \Leftrightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \{0,2,4,6,\ldots \})\end{aligned}}}
7.
(
Φ
[
x
]
↔
∃
u
∃
v
(
u
∈
U
∧
v
∈
V
∧
x
=
(
u
,
v
)
)
)
∧
a
=
P
(
P
(
U
∪
V
)
)
⇒
∃
c
∀
b
(
b
∈
c
↔
b
∈
P
(
P
(
U
∪
V
)
)
∧
∃
u
∃
v
(
u
∈
U
∧
v
∈
V
∧
b
=
(
u
,
v
)
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}7.\ (\Phi [x]\ \leftrightarrow \ \exists u\exists v\ (u\in U\ \land \ v\in V\ \land \ x=(u,v)\ )\ )\quad \land \quad a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(U\cup V))\\\ \Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(U\cup V))\ \land \ \exists u\exists v\ (u\in U\land v\in V\land b=(u,v)))\end{aligned}}}
Доказывается, что схема выделения равносильна высказыванию
∀
a
∃
!
c
∀
b
(
b
∈
c
↔
b
∈
a
∧
Φ
[
b
]
)
{\displaystyle \forall a\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )}
. Поэтому единственному подмножеству
c
{\displaystyle c}
можно присвоить имя
{
x
:
x
∈
a
∧
Φ
[
x
]
}
{\displaystyle \{x\colon x\in a\land \Phi [x]\}}
. Используя указанное имя, схему выделения записывают так:
∀
a
∀
b
(
b
∈
{
x
:
x
∈
a
∧
Φ
[
x
]
}
↔
b
∈
a
∧
Φ
[
b
]
)
{\displaystyle \forall a\forall b\ (b\in \{x\colon x\in a\land \Phi [x]\}\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )}
или
∀
a
(
{
x
:
x
∈
a
∧
Φ
[
x
]
}
=
{
b
:
b
∈
a
∧
Φ
[
b
]
}
{\displaystyle \forall a(\{x\colon x\in a\ \land \ \Phi [x]\}=\{b\colon b\in a\ \land \ \Phi [b]\}}
Схема выделения равносильна счётному множеству аксиом.
∀
x
∃
!
y
(
ϕ
[
x
,
y
]
)
→
∀
a
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
∃
b
(
b
∈
a
∧
ϕ
[
b
,
c
]
)
)
{\displaystyle \forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\ \to \ \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c]\ )\ )}
, что есть
∀
x
∃
!
y
(
ϕ
[
x
,
y
]
)
→
∀
a
∃
d
(
d
=
{
c
:
∃
b
(
b
∈
a
∧
ϕ
[
b
,
c
]
)
}
)
{\displaystyle \forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\ \to \ \forall a\exists d\ (d=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\}\ )}
Примечание
Схему преобразования [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Любое множество можно преобразовать в [то же самое или другое] множество
d
{\displaystyle d}
, высказав любое истинное математически корректное функциональное суждение
ϕ
{\displaystyle \phi }
обо всех элементах
b
{\displaystyle b}
данного множества
a
{\displaystyle a}
.»
Примеры
1.
(
ϕ
[
x
,
y
]
↔
y
=
x
)
⇒
∀
a
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
∃
b
(
b
∈
a
∧
c
=
b
)
)
⇔
∀
a
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
c
∈
a
)
{\displaystyle 1.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=x)\Rightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c=b))\Leftrightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a)}
2.
(
ϕ
[
x
,
y
]
↔
y
=
x
2
)
∧
a
=
{
1
,
2
,
3
}
⇒
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
∃
b
(
b
∈
{
1
,
2
,
3
}
∧
c
=
b
2
)
)
⇔
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
c
∈
{
1
,
4
,
9
}
)
{\displaystyle {\begin{aligned}2.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=x^{2})\ \land \ a=\{1,2,3\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \{1,2,3\}\ \land \ c=b^{2}))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{1,4,9\})\end{aligned}}}
3.
(
ϕ
[
x
,
y
]
↔
y
=
f
(
x
)
)
⇒
∀
a
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
∃
b
(
b
∈
a
∧
c
=
f
(
b
)
)
)
{\displaystyle 3.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=f(x))\Rightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c=f(b)\ )\ )}
4.
(
ϕ
[
x
,
y
]
↔
(
x
=
∅
→
y
=
a
1
)
∧
(
x
≠
∅
→
y
=
a
2
)
)
∧
a
=
P
(
P
(
∅
)
)
=
{
∅
,
{
∅
}
}
⇒
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
∃
b
(
b
∈
{
∅
,
{
∅
}
}
∧
(
b
=
∅
→
c
=
a
1
)
∧
(
b
≠
∅
→
c
=
a
2
)
)
)
⇔
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
c
=
a
1
∨
c
=
a
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}4.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow (x=\varnothing \to y=a_{1})\land (x\neq \varnothing \to y=a_{2})\ )\quad \land \quad a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\\\ \Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\land (b=\varnothing \to c=a_{1})\land (b\neq \varnothing \to c=a_{2})\ ))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c=a_{1}\ \lor \ c=a_{2})\end{aligned}}}
5.
(
ϕ
[
x
,
y
]
↔
y
=
2
x
)
∧
a
=
N
⇒
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
∃
b
(
b
∈
N
∧
c
=
2
b
)
)
⇔
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
c
∈
{
0
,
2
,
4
,
6
,
…
}
)
{\displaystyle {\begin{aligned}5.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=2x)\ \land \ a=\mathbb {N} \Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \mathbb {N} \land c=2b))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,2,4,6,\ldots \})\end{aligned}}}
6.
(
ϕ
[
x
,
y
]
↔
y
=
2
x
+
1
)
∧
a
=
N
⇒
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
∃
b
(
b
∈
N
∧
c
=
2
b
+
1
)
)
⇔
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
c
∈
{
1
,
3
,
5
,
7
,
…
}
)
{\displaystyle {\begin{aligned}6.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=2x+1)\ \land \ a=\mathbb {N} \Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \mathbb {N} \land c=2b+1))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{1,3,5,7,\ldots \})\end{aligned}}}
7.
(
ϕ
[
x
,
y
]
↔
(
x
∈
N
∧
x
<
2
→
y
=
x
)
∧
(
x
∈
N
∧
¬
(
x
<
2
)
→
y
=
1
)
)
∧
a
=
N
⇒
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
∃
b
(
b
∈
N
∧
(
b
∈
N
∧
b
<
2
→
c
=
b
)
∧
(
b
∈
N
∧
¬
(
b
<
2
)
→
c
=
1
)
)
)
⇔
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
c
∈
N
∧
c
<
2
)
⇔
∃
d
∀
c
(
c
∈
d
↔
c
∈
{
0
,
1
}
)
{\displaystyle {\begin{aligned}7.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow (x\in \mathbb {N} \ \land \ x<2\to y=x)\ \land \ (x\in \mathbb {N} \ \land \ \neg (x<2)\to y=1))\quad \land \quad a=\mathbb {N} \\\ \Rightarrow \exists d\forall c(c\in d\leftrightarrow \exists b(b\in \mathbb {N} \ \land \ (b\in \mathbb {N} \land b<2\to c=b)\ \land \ (b\in \mathbb {N} \land \neg (b<2)\to c=1)))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \mathbb {N} \ \land \ c<2)\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1\})\end{aligned}}}
Доказывается, что в схеме преобразования множество
d
{\displaystyle d}
единственно. Поэтому указанному множеству можно присвоить имя
{
y
:
∃
x
(
x
∈
a
∧
ϕ
[
x
,
y
]
)
}
{\displaystyle \{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y])\}}
. Используя указанное имя, схему преобразования записывают так:
∀
x
∃
!
y
(
ϕ
[
x
,
y
]
)
→
∀
a
∀
c
(
c
∈
{
y
:
∃
x
(
x
∈
a
∧
ϕ
[
x
,
y
]
)
}
↔
∃
b
(
b
∈
a
∧
ϕ
[
b
,
c
]
)
)
{\displaystyle \forall x\exists !y(\phi [x,y])\to \forall a\forall c\ (c\in \{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y])\}\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ )}
или
∀
x
∃
!
y
(
ϕ
[
x
,
y
]
)
→
∀
a
(
{
y
:
∃
x
(
x
∈
a
∧
ϕ
[
x
,
y
]
)
}
=
{
c
:
∃
b
(
b
∈
a
∧
ϕ
[
b
,
c
]
)
}
)
{\displaystyle \forall x\exists !y(\phi [x,y])\to \forall a(\{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y])\}=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\}\ )}
Схема преобразования равносильна счётному множеству аксиом.
3. Аксиомы ZFC об упорядоченности множеств [ править | править код ]
Следующие два высказывания определяют упорядоченность множеств, которые образованы из
∅
{\displaystyle \varnothing }
и каждой
∞
{\displaystyle \infty }
с помощью аксиом образования множеств.
∀
a
(
a
≠
∅
→
∃
b
(
b
∈
a
∧
∀
c
(
c
∈
b
→
c
∉
a
)
)
)
{\displaystyle \forall a\ (a\neq \varnothing \to \exists b\ (b\in a\ \land \ \forall c\ (c\in b\to c\notin a)\ )\ )}
Примечание
«Аксиому регулярности» можно сформулировать следующим образом: «В любом семействе множеств есть [по меньшей мере одно] множество
b
{\displaystyle b}
, каждый элемент
c
{\displaystyle c}
которого не принадлежит данному семейству
a
{\displaystyle a}
.»
Примеры
1.
a
=
{
x
}
⇒
a
≠
∅
⇒
∃
b
(
b
∈
{
x
}
∧
∀
c
(
c
∈
b
→
c
∉
{
x
}
)
)
⇔
∃
b
(
b
∈
{
x
}
∧
∀
c
(
c
∈
{
x
}
→
c
∉
b
)
)
⇒
∀
x
(
x
∉
x
)
⇔
∀
a
(
a
∉
a
)
⇔
∀
a
∀
b
(
a
∈
b
∨
b
∈
a
→
a
≠
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}1.\ a=\{x\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x\}\land \forall c\ (c\in b\to c\notin \{x\})\ )\\\ \Leftrightarrow \exists b\ (b\in \{x\}\land \forall c\ (c\in \{x\}\to c\notin b))\Rightarrow \forall x(x\notin x)\\\ \Leftrightarrow \forall a(a\notin a)\Leftrightarrow \forall a\forall b\ (a\in b\ \lor \ b\in a\to a\neq b)\end{aligned}}}
Сравните с высказываниями
∀
a
(
a
=
a
)
{\displaystyle \forall a\ (a=a)}
и
∀
a
(
a
≮
a
)
{\displaystyle \forall a\ (a\not <a)}
, а также
∀
a
∀
b
(
a
<
b
∨
b
<
a
→
a
≠
b
)
{\displaystyle \forall a\forall b\ (a<b\ \lor \ b<a\to a\neq b)}
.
2.
a
=
{
x
,
y
}
⇒
a
≠
∅
⇒
∃
b
(
b
∈
{
x
,
y
}
∧
∀
c
(
c
∈
b
→
c
∉
{
x
,
y
}
)
)
⇒
∀
x
∀
y
(
x
∈
y
→
y
∉
x
)
⇔
∀
a
∀
b
(
a
∈
b
→
b
∉
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}2.\ a=\{x,y\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x,y\}\ \land \ \forall c\ (c\in b\to c\notin \{x,y\}))\\\ \Rightarrow \forall x\forall y\ (x\in y\to y\notin x)\\\ \Leftrightarrow \forall a\forall b\ (a\in b\to b\notin a)\end{aligned}}}
Сравните с высказываниями
∀
a
∀
b
(
a
=
b
→
b
=
a
)
{\displaystyle \forall a\forall b\ (a=b\to b=a)}
и
∀
a
∀
b
(
a
<
b
→
b
≮
a
)
{\displaystyle \forall a\forall b\ (a<b\to b\not <a)}
.
3.
a
=
{
x
,
y
,
z
}
⇒
a
≠
∅
⇒
∃
b
(
b
∈
{
x
,
y
,
z
}
∧
∀
c
(
c
∈
b
→
c
∉
{
x
,
y
,
z
}
)
)
⇒
∀
a
∀
b
∀
c
(
a
∈
b
∧
b
∈
c
→
c
∉
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}3.\ a=\{x,y,z\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x,y,z\}\land \forall c\ (c\in b\to c\notin \{x,y,z\}))\\\ \Rightarrow \forall a\forall b\forall c\ (a\in b\land b\in c\to c\notin a)\end{aligned}}}
Сравните с высказываниями
∀
a
∀
b
∀
c
(
a
=
b
∧
b
=
c
→
c
=
a
)
{\displaystyle \forall a\forall b\forall c\ (a=b\land b=c\to c=a)}
и
∀
a
∀
b
∀
c
(
a
<
b
∧
b
<
c
→
c
≮
a
)
{\displaystyle \forall a\forall b\forall c\ (a<b\land b<c\to c\not <a)}
.
∀
a
(
a
≠
∅
∧
∀
b
(
b
∈
a
→
b
≠
∅
)
∧
∀
b
1
∀
b
2
(
b
1
≠
b
2
∧
{
b
1
,
b
2
}
⊆
a
→
b
1
∩
b
2
=
∅
)
→
∃
d
∀
b
(
b
∈
a
→
∃
c
(
b
∩
d
=
{
c
}
)
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\forall a\ (a\neq \varnothing \land \forall b\ (b\in a\to b\neq \varnothing )\land \forall b_{1}\forall b_{2}\ (b_{1}\neq b_{2}\land \{b_{1},b_{2}\}\subseteq a\to b_{1}\cap b_{2}=\varnothing )\\\ \to \exists d\forall b\ (b\in a\to \exists c\ (b\cap d=\{c\})\ )\ )\end{aligned}}}
Примечание
«Аксиому выбора» можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства непустых попарно непересекающихся множеств можно выбрать „делегацию“, то есть такое множество
d
{\displaystyle d}
, в котором есть по одному элементу
c
{\displaystyle c}
от каждого множества
b
{\displaystyle b}
данного семейства
a
{\displaystyle a}
.»
Пример
Предположим, что семейство образовано из множества неотрицательных чётных чисел и множества неотрицательных нечётных чисел. В таком случае, выполнены все условия «аксиомы выбора», а именно:
1.
{
{
0
,
2
,
4
,
…
}
,
{
1
,
3
,
5
,
…
}
}
≠
∅
{\displaystyle 1.\quad \{\{0,2,4,\ldots \},\ \{1,3,5,\ldots \}\}\neq \varnothing }
,
2.
{
0
,
2
,
4
,
…
}
≠
∅
∧
{
1
,
3
,
5
,
…
}
≠
∅
{\displaystyle 2.\quad \{0,2,4,\ldots \}\neq \varnothing \quad \land \quad \{1,3,5,\ldots \}\neq \varnothing }
,
3.
{
0
,
2
,
4
,
…
}
∩
{
1
,
3
,
5
,
…
}
=
∅
{\displaystyle 3.\quad \{0,2,4,\ldots \}\ \cap \ \{1,3,5,\ldots \}=\varnothing }
.
Следовательно, можно образовать по меньшей мере одну «делегацию» в составе одного «делегата» (например, числа ноль) от множества
{
0
,
2
,
4
,
…
}
{\displaystyle \{0,2,4,\ldots \}}
и одного «делегата» (например, числа один) от множества
{
1
,
3
,
5
,
…
}
{\displaystyle \{1,3,5,\ldots \}}
. Действительно:
{
0
,
2
,
4
,
…
}
∩
{
0
,
1
}
=
{
0
}
{\displaystyle \{0,2,4,\ldots \}\ \cap \ \{0,1\}=\{0\}}
.
{
1
,
3
,
5
,
…
}
∩
{
0
,
1
}
=
{
1
}
{\displaystyle \{1,3,5,\ldots \}\ \cap \ \{0,1\}=\{1\}}
.
1. Если ZFC непротиворечива, то её непротиворечивость не может быть доказана средствами ZFC, согласно второй теореме Гёделя .
По-видимому, первоначальный вариант теории множеств, умышленно названный немецким математиком Георгом Кантором учением о множествах, состоял из двух аксиом, а именно:
1) аксиомы объёмности
∀
a
1
∀
a
2
(
∀
b
(
b
∈
a
1
↔
b
∈
a
2
)
→
a
1
=
a
2
)
{\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\to a_{1}=a_{2})}
, которая позволяет сформулировать критерий равенства множеств ,
2) «аксиомы математической свободы»
∀
a
∃
b
∀
c
(
c
∈
b
↔
Φ
[
a
,
c
]
)
{\displaystyle \forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow \Phi [a,c])}
, которая позволяет создавать множества с помощью «суждения свободы»
Φ
[
a
,
c
]
{\displaystyle \Phi [a,c]}
.
«Аксиома математической свободы» имеет рациональные следствия, включая следующие:
∃
b
∀
c
(
c
∈
b
↔
c
≠
c
)
{\displaystyle \exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\neq c)}
,
∀
a
∃
b
∀
c
(
c
∈
b
↔
c
=
a
)
{\displaystyle \forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=a)}
,
∀
a
∃
b
∀
c
(
c
∈
b
↔
c
=
a
∨
c
=
x
)
{\displaystyle \forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=a\ \lor \ c=x)}
,
∀
a
∃
b
∀
c
(
c
∈
b
↔
c
∈
a
∧
Φ
[
c
]
)
{\displaystyle \forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\in a\land \Phi [c])}
,
∀
a
∃
b
∀
c
(
c
∈
b
↔
c
⊆
a
)
{\displaystyle \forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\subseteq a)}
,
∀
a
∃
b
∀
c
(
c
∈
b
↔
∃
d
(
d
∈
a
∧
c
∈
d
)
)
{\displaystyle \forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow \exists d\ (d\in a\land c\in d))}
.
В 1903 году английский философ Бертран Рассел обратил внимание на следующее:
1) руководствуясь «аксиомой математической свободы», невозможно отличить «свободу» от «вседозволенности»,
2) выбрав в качестве
Φ
[
a
,
c
]
{\displaystyle \Phi [a,c]}
тривиальнейшее математическое суждение
c
=
c
{\displaystyle c=c}
, мы получаем высказывание о существовании «множества всех множеств»
∃
b
∀
c
(
c
∈
b
↔
c
=
c
)
{\displaystyle \exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=c)}
, от которого «один шаг» до парадокса Рассела .
Эти критические высказывания о «немецком учении [о множествах]» побудили немецкого математика Эрнста Цермело заменить «аксиому математической свободы» такими её следствиями, которые не вызывали бы протеста у математиков.
В 1908 году в журнале Mathematische Annalen Эрнст Цермело опубликовал следующие семь аксиом:
1) аксиому объёмности (нем. Axiom der Bestimmtheit );
2) аксиому о существовании «элементарных множеств» (нем. Axiom der Elementarmengen )
∅
{\displaystyle \varnothing }
,
{
a
}
{\displaystyle \{a\}}
и
{
a
1
,
a
2
}
{\displaystyle \{a_{1},a_{2}\}}
, которую можно записать в следующем виде:
∃
a
∀
b
(
b
∉
a
)
∧
∀
a
∃
c
∀
b
(
b
∈
c
↔
b
=
a
)
∧
∀
a
1
∀
a
2
∃
c
∀
b
(
b
∈
c
↔
b
=
a
1
∨
b
=
a
2
)
{\displaystyle \exists a\forall b\ (b\notin a)\ \land \ \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a)\ \land \ \forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\ \leftrightarrow \ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})}
;
3) схему выделения (нем. Axiom der Aussonderung );
4) аксиому множества подмножеств (нем. Axiom der Potenzmenge );
5) аксиому объединения (нем. Axiom der Vereinigung );
6) аксиому выбора (нем. Axiom der Auswahl );
7) аксиому бесконечности (нем. Axiom der Unendlichkeit ) в формулировке, отличной от современной формулировки.
Так «учение о множествах» превратилось в теорию множеств, а именно в теорию ZC [Z ermelo set theory with the Axiom of C hoice].
Последняя аксиома теории ZC (аксиома бесконечности) сблизила сторонников Георга Кантора со сторонниками Леопольда Кронекера , которые рассматривали множество натуральных чисел
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
как священный грааль математики.
Предпоследняя аксиома теории ZC (аксиома выбора) стала предметом оживлённых математических дискуссий. Действительно, эта аксиома не является следствием «аксиомы математической свободы».
В 1922 году немецкий математик Абрахам Френкель и норвежский математик Туральф Скулем дополнили теорию ZC схемой преобразования . В результате теория ZC превратилась в теорию ZFC [Z ermelo-F raenkel set theory with the Axiom of C hoice].
В 1925 году венгерский математик Джон фон Нейман дополнил теорию ZFC аксиомой регулярности . Одно из следствий этой аксиомы (
∀
a
(
a
∉
a
)
{\displaystyle \forall a\ (a\notin a)}
) «похоронило» и «множество всех множеств», и «парадокс Рассела ».
Колмогоров А. Н. , Драгалин А. Г. Математическая логика. — М.: УРСС, 2005. — 240 с.
Френкель А. А. , Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 556 с.
Fraenkel, Abraham ; Bar-Hillel, Yehoshua ; Lévy, Azriel [англ.] . Foundations of Set Theory (неопр.) . — North-Holland , 1973. Fraenkel’s final word on ZF and ZFC.
Hatcher, William. The Logical Foundations of Mathematics. — Pergamon Press [англ.] , 1982.
Hinman, Peter. Fundamentals of Mathematical Logic. — A K Peters [англ.] , 2005. — ISBN 978-1-56881-262-5 .
Jech, Thomas [англ.] . Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded (англ.) . — Springer [англ.] , 2003. — ISBN 3-540-44085-2 .
Kunen, Kenneth [англ.] . Set Theory: An Introduction to Independence Proofs (англ.) . — Elsevier , 1980. — ISBN 0-444-86839-9 .
Levy, Azriel. Basic Set Theory. — Dover Publications , 2002. — ISBN 0486420795 .
Link, Godehard. Formalism and Beyond: On the Nature of Mathematical Discourse (англ.) . — Walter de Gruyter GmbH & Co KG , 2014. — ISBN 978-1-61451-829-7 .
Quine, Willard van Orman. Set Theory and Its Logic . — Revised. — Cambridge, Massachusetts and London, England: Harvard University Press , 1969. — ISBN 0-674-80207-1 .
Montague, Richard . Semantical closure and non-finite axiomatizability // Infinistic Methods. — London: Pergamon Press [англ.] , 1961. — С. 45—69.
Shoenfield, Joseph R. [англ.] . Axioms of set theory // Handbook of Mathematical Logic / Barwise, K. J. [англ.] . — 1977. — ISBN 0-7204-2285-X .
Takeuti, Gaisi; Zaring, W M. Introduction to Axiomatic Set Theory. — 1982.
Tarski, Alfred [англ.] . On well-ordered subsets of any set (англ.) // Fundamenta Mathematicae : journal. — 1939. — Vol. 32 . — P. 176—183 .
Ссылки на внешние ресурсы
Словари и энциклопедии