Разделённая разность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Разделенная разность»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Разделённая ра́зность — обобщение понятия производной для дискретного набора точек.

Определение

[править | править код]

Пусть функция задана на (связном) множестве и фиксированы попарно различные точки

Тогда разделённой разностью нулевого порядка функции в точке называют значение а разделённую разность порядка для системы точек определяют через разделённые разности порядка по формуле

в частности,

Для разделённой разности верна формула

в частности,

Разделённая разность является симметрической функцией своих аргументов, то есть при любой их перестановке её значение не меняется, в частности,

При фиксированной системе точек разделённая разность является линейным функционалом, то есть для функций и и скаляров и :

Применение

[править | править код]

С помощью разделённых разностей функции для узлов можно записать как интерполяционный многочлен Ньютона «вперёд»:

так и интерполяционный многочлен Ньютона «назад»:

Преимущества:

  • для вычислений разделённых разностей требуется действий (деления), что меньше, чем в других алгоритмах;
  • вычислять значения интерполяционного многочлена можно по схеме Горнера за действий (умножения);
  • хранения требуют узел и разность, причём разности можно хранить (получить) в тех же ячейках, где были заданы значения  ;
  • по сравнению с интерполяционным многочленом Лагранжа упрощено добавление нового узла.

С использованием

первую из формул можно записать в виде

С помощью многочлена Ньютона можно также получить следующее представление разделённых разностей в виде отношения определителей:

Ньютон использовал в своей общей формуле интерполяции (см. выше) разделённые разности, но термин, по-видимому, был введён О. де Морганом в 1848 году[1].

Пример для функции

На приведённом изображении рассмотрен пример вычисления разделённых разностей для

Литература

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. Конечные разности. Архивная копия от 12 августа 2010 на Wayback Machine в энциклопедии Кругосвет