Бета-функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Неполная бета-функция»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
График бета-функции при вещественных аргументах

В математике бета-функцией (-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух комплексных переменных:

определённая при , .

Бета-функция была изучена Эйлером, Лежандром[когда?], а название ей дал Жак Бине.

Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть

Бета-функцию можно выразить через другие функции:

где  — Гамма-функция;

где  — нисходящий факториал, равный .

Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:

Бета-функция удовлетворяет двумерному разностному уравнению:

Производные

[править | править код]

Частные производные у бета-функции следующие:

где  — дигамма-функция.

Неполная бета-функция

[править | править код]

Неполная бета-функция — это обобщение бета-функции, заменяющее интеграл по отрезку на интеграл с переменным верхним пределом:

При неполная бета-функция совпадает с полной.

Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции:

Свойства

[править | править код]

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]

Кузнецов Д. С. Специальные функции (1962) — 249 с.