Ряд Лорана комплексной функции — представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями. Назван в честь французского математика П. А. Лорана.
Ряд Лорана в конечной точке
— функциональный ряд по целым степеням
над полем комплексных чисел:
где переменная
, а коэффициенты
для
.
Этот ряд является суммой двух степенных рядов:
— часть по неотрицательным степеням
,
— часть по отрицательным степеням
.
Ряд Лорана сходится тогда и только тогда, когда сходятся обе (как по отрицательным, так и по положительным степеням) его части.
Если
— область сходимости ряда Лорана такая, что
, то для
- ряд
называется правильной частью,
- ряд
называется главной частью.
Ряд Лорана в бесконечно удалённой точке
— функциональный ряд по целым степеням
над полем комплексных чисел:
где переменная
, а коэффициенты
для
.
По внешнему виду ряд для
совпадает с рядом для
, однако, с формальной точки зрения получен с помощью замены
для
.
Если
— область сходимости ряда Лорана такая, что
, то для
- ряд
называется правильной частью,
- ряд
называется главной частью.
- Часть по положительным степеням
сходится во внутренности
круга радиуса
,
- часть по отрицательным степеням
сходится во внешности
круга
радиуса
.
- Поэтому, если
, то внутренность
области сходимости ряда Лорана непуста и представляет собой круговое кольцо
.
- Поведение ряда Лорана в точках граничной окружности
зависит только от
для произвольного
,
- а в точках граничной окружности
— только от
для произвольного
.
- Таким образом, как и для степенных рядов поведение ряда Лорана в граничной точках кольца
может быть разнообразным.
- Во всех точках кольца
ряд Лорана сходится абсолютно.
- На любом компактном подмножестве
ряд сходится равномерно.
- Для каждой точки
существует такое значение
, что
, и ряд Лорана
может быть записан в виде сходящегося в
ряда по степеням
:
где
, а
для
,
- т.е.
является для
правильной точкой. Таким образом, сумма ряда Лорана в
есть аналитическая функция
.
- Для
на граничных окружностях кольца сходимости
существуют непустые множества
,
точек, не являющихся для
правильными.
- Ряд Лорана можно дифференцировать на любом компактном
почленно.
- Интегрирование ряда Лорана даёт однозначную в
функцию только при
, поскольку для любого
значение ![{\displaystyle \int \limits _{\;\,|z-z_{0}|=\rho }c_{n}(z-z_{0})^{n}\cdot dz=\left\{{\begin{array}{ll}c_{-1}\cdot 2\pi i\,,&n=-1\,;\\0\,,&n\neq -1\,.\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73e5168b2eb1fd2de43e134e460fd88d824d9fbb)
- Ряд
, представляющий в двусвязной области
функцию
, для любого компактного
и любой спрямляемой ориентированной кривой
можно интегрировать по
почленно, при этом результат интегрирования зависит только от начальной и конечной точек
и не зависит от формы кривой
.
- Коэффициенты
ряда Лорана
удовлетворяют соотношениям
,
- где
— любая спрямляемая кривая, лежащая в компактном
и один раз обходящая против часовой стрелки точку
. В частности, в качестве
можно взять любую окружность
радиуса
с центром в
, расположенную внутри кольца сходимости и ориентированную положительно (параметр
должен возрастать).
- Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если для двух рядов Лорана по степеням
, сходящихся в
и
соответственно, совпадают их суммы на некоторой окружности
или на гомотопной ей по
спрямляемой кривой
, то совпадают все коэффициенты этих рядов.
Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:
- Любая функция
, являющаяся однозначной и аналитической в кольце
, представима в
сходящимся рядом Лорана по степеням
.
Представление однозначной аналитической функции
в виде ряда Лорана служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности
изолированной особой точки:
1) если точка
, то существует радиус
такой, что
в проколотой окрестности
![{\displaystyle A_{z_{0}}=\{z\in \mathbb {C} \mid 0<|z-z_{0}|<R_{z_{0}}\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/557e20b54746d450effc1f7544691c129dcfc282)
функция
представима (сходящимся) рядом Лорана;
2) если точка
, то существует радиус
такой, что
в проколотой окрестности
![{\displaystyle A_{\infty }=\{z\in \mathbb {C} \mid r_{\infty }<|z|<\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa449044801fd48f5261c0e657d36a2e81878eac)
функция
представима (сходящимся) рядом Лорана.
Тип изолированной особой точки
определяется главной частью ряда Лорана в проколотой окрестности
: