Параболоид
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/12/Paraboloid_of_Revolution.svg/120px-Paraboloid_of_Revolution.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/ParabHyper.png/120px-ParabHyper.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/Superf%C3%ADcie_paraboloide_hiperb%C3%B3lico_-_LEMA_-_UFBA_.jpg/150px-Superf%C3%ADcie_paraboloide_hiperb%C3%B3lico_-_LEMA_-_UFBA_.jpg)
Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка в трёхмерном евклидовом пространстве.
Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.
Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:
- где и — действительные числа, не равные нулю одновременно.
При:
- и одного знака — эллиптический параболоид; частный случай — параболоид вращения;
- и разных знаков — гиперболический параболоид;
- или равен нулю, — цилиндрический параболоид или, чаще параболический цилиндр.
Cечения параболоида вертикальными (параллельными оси ) плоскостями произвольного положения — параболы.
Сечения параболоида горизонтальными плоскостями, параллельными плоскости для эллиптического параболоида — эллипсы, для параболоида вращения эти пересечения — окружности, когда такое пересечение существует.
Сечения для гиперболического параболоида — гиперболы.
В частных случаях сечением может оказаться прямая или пара прямых (для гиперболического параболоида; для параболического цилиндра прямые будут параллельны) или вырождаться в одну точку (для эллиптического параболоида).
Эллиптический параболоид
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/%D0%AD%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D0%B4.png/180px-%D0%AD%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D0%B4.png)
Эллипти́ческий параболо́ид — поверхность, задаваемая функцией вида:
Эллиптический параболоид можно описать как семейство параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу с также направленными вверх ветвями (см. рисунок). Это представление симметрично, и оси семейств парабол образуют пару пересекающихся перпендикулярно плоскости.
Если , то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг её оси симметрии.
Гиперболический параболоид
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1a/Hiperbolic_paraboloid.png/180px-Hiperbolic_paraboloid.png)
Гиперболи́ческий параболо́ид (называемый в строительстве «гипар») — седловая поверхность, описываемая в прямоугольной системе координат уравнением вида
- или
Также гиперболический параболоид может быть образован движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх (см. рисунок).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/01/Hyperbolic-paraboloid.svg/180px-Hyperbolic-paraboloid.svg.png)
Гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью.
Поверхность, порождаемая билинейной интерполяцией некоторой функции по 4 точкам, является гиперболическим параболоидом.
Интересные факты
[править | править код]- Поверхность жидкости в равномерно вращающемся сосуде является параболоидом вращения (что не является прямой причиной его названия).
- Часто используется свойство параболоида вращения собирать пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку — фокус, или, наоборот, формировать параллельный пучок излучения от находящегося в фокусе источника. На этом принципе основана работа параболических антенн, телескопов-рефлекторов с параболическим зеркалом, прожекторов, автомобильных фар и т. д. Подробнее, см. рефлектор (зеркало).
См. также
[править | править код]- Гиперболоид — другой вид поверхности второго порядка.
- Поверхности второго порядка.
- Квадратичная форма.
Литература
[править | править код]- Делоне Б. Н., Райков Д. А. Аналитическая геометрия, в двух томах. — М., Л.: Гостехиздат, 1948, 1949.
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
- Канатников А. Н., Крищенко А. П. Аналитическая геометрия. — М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. — 388 с. — ISBN 5-7038-1671-8.
![]() | В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |